無差別曲線とその求め方、最適消費点について分かりやすく解説。

この記事では、無差別曲線とその求め方について解説した記事になります。また、それと併せて別記事で解説している予算制約線と組み合わせて導き出せる、最適消費点の求め方についても解説します。

また、この記事を読むことで、以下のようなメリットがあります。

もしまだミクロ経済学に関する記事の一覧も併せてお読みください。

効用最大の消費量

効用関数は一つの財の効用(U)と消費量(x)の関係性を表しています。

効用が最大となる消費量の表しかたが二つあります。それが

• 一定の予算制約の中における二つの財の消費量の組み合わせ
• 一定の効用の中における二つの財の消費量の組み合わせ

です。前者が予算制約線、後者が無差別曲線になります。それぞれ以下で解説をしていきます。

この記事では、まず無差別曲線ついて解説していきます。

また効用関数や限界効用などについて解説した記事は、こちらになります。あわせてお読みください。

無差別曲線とは？

続いて無差別曲線について解説していきます。

無差別曲線とは？

２つ財の消費量の効用の組合せをまず想定します。そこで一定の効用が得られる2つの財の量の組み合わせを表したものが無差別曲線です。無差別曲線は、右下がりの曲線となっています。

無差別曲線の形状の理由

なぜこうなるのか？イメージとしては二つのの財(X,Y)の効用曲線を二つ組み合わせて三次元のグラフを表したとします。その際に、ある効用の部分で横に切れ目を入れた時に現れるのが無差別曲線になります。

以下の図表のようにA.B.Cそれぞれの効用の水準で切れ目を入れたら、A.B.Cのそれぞれの効用水準の無差別曲線が出来上がります。

限界代替率（MRS）の求め方と数式

ここでは限界代替率についてその求め方と併せて解説して行きます。

限界代替率とは？

限界代替率とは、ある商品(財・サービス)の消費量を１単位増加させたときに同水準の効用を保つために、もう一方の財を何単位減少させればよいかを示します。

限界代替率は、無差別曲線の接線の傾きです。別の言い方をするとX財とY財の交換比率(MU_x/MU_y)とでもあります。

数式で表すと以下のようになります。

限界代替率の求め方

では、限界代替率の求め方を解説していきます。

無差別曲線はX財とY財の効用曲線の組み合わせてあることは先ほど説明しました。そのため、

と表すことができます。具体例としてはU=xyやU=x^1/2y^1/2などが挙げられます

その後、X財とY財の限界効用を求めます。そこでf(x)とf(y)をそれぞれ微分します。

（イラスト）

そして、限界代替率は

と表すことができるのです。

限界代替率逓減の法則

一方の財の消費量を増やしていくと、限界代替率も逓減する傾向にあると言う傾向を限界代替率逓減の法則と言います。

たとえば、X財の消費量を一定にして、Y財の消費量を減少させると、限界代替率(傾き)が減少することがわかるとお思います。(下記のグラフ参照)

最適消費点

ここでは予算制約線と、この記事で解説した無差別曲線を使用することで求められる最適消費点について解説していきます。

予算制約線とその求め方に関しては以下の記事をお読みください。

最適消費点とは？

消費者は、与えられた所得の制約の下で、自分の効用を最大化しようとします。この効用が最大化された地点を最適消費点と言います。

最適消費点は、無差別曲線と予算制約線の交点にあたります。最適消費点では、予算制約の下で効用が最大化されており、なおかつその効用のもとでのX財とY財の最適な消費量の組み合わせが実現しています。

最適消費点の求め方

無差別曲線と予算制約線の交点では、限界代替率(MRS：交換比率)と価格比(予算制約線の傾き)がイコールとなります。(以下グラフ参照)

数式で表すと

となります。

さいごに

最後まで読んでいただきありがとうございます！

この記事をきっかけで少し経済学について理解を深めたいと思った方は、以下の書籍から初めてみるのがおすすめです！

それは、『スタンフォード大学で一番人気の経済学入門 ミクロ編・マクロ編』です。

こちらはミクロ経済学に関して難しい数式を使うことなくわかりやすく説明してくれています。

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